Построение комплексного чертежа точки по координатам. Алгоритм построения комплексного чертежа точки по координатам. Положение точки относительно плоскостей проекций

Чтобы получить плоский чертеж, совместим горизонтальную плоскость проекций П 1 с фронтальной плоскостью П 2 вращением вокруг оси П 2 /П 1 (рис. 61, а). Тогда обе проекции точки окажутся на одной линии, перпендикулярной оси П 2 /П 1 . Прямая А 1 А 2 , соединяющая горизонтальную А 1 и фронтальную А 2 проекции точки, называется вертикальной линией связи .

Рис. 61 Совмещение горизонтальной плоскости проекций с фронтальной плоскостью

Полученный плоский чертеж называется комплексным чертежом. Он представляет собой изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях. Комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций, связанных между собой, называется двухпроекционным. На этом чертеже горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда лежат на одной вертикальной линии связи.

Две связанные между собой ортогональные проекции точки однозначно определяют ее положение относительно плоскостей проекций. Если определить положение точки а относительно этих плоскостей (рис. 61, б) ее высотой h (АА 1 =h) и глубиной f(AA 2 =f) , то эти величины на комплексном чертеже существуют как отрезки вертикальной линии связи. Это обстоятельство позволяет легко реконструировать чертеж, т. е. определить по чертежу положение точки относительно плоскостей проекций. Для этого достаточно в точке А 2 чертежа восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа (считая ее фронтальной) длиной, равной глубине f . Конец этого перпендикуляра определит положение точки А относительно плоскости чертежа.

В общем случае плоскости проекций разделяют все пространство на 8 частей, которые называют октантами. В практике изображения геометрических объектов на чертежах из соображения удобства и наибольшей наглядности проецируемый объект располагают в I октанте. Поэтому в нашем курсе начертательной геометрии мы ограничимся рассмотрением геометрических объектов, расположенных только в этом октанте.

В том случае, когда точка занимает частное положение в пространстве, ее проекции расположены особенным образом. Частным положением точки считаем такое, при котором она находится либо на оси проекций, либо в плоскости проекций. Так, если точка расположена на оси проекций, тогда две ее проекции лежат на этой оси, а третья в начале координат. Если точка расположена на плоскости проекций, тогда одна из ее проекций лежит в этой же плоскости, а две другие – на осях проекций.

Для точек, занимающих частное положение в пространстве, построения следует начинать с проекций, принадлежащих либо оси, либо плоскости проекций.

Для построения чертежей реальных деталей, имеющих конкретные геометрические размеры и привязанных к определенным координатам, необходимо установить взаимосвязь между проекциями точки и ее координатами.

Построение проекций точки по ее координатам

Пусть заданы координаты какой-либо точки А (x, y, z ). Тогда ее проекции строят следующим образом: сначала откладывают абсциссу по оси ОХ ; затем проводят вертикальную линию; далее на ней откладывают ординату по оси OY и аппликату по оси OZ (вверх, либо вниз от оси ОХ в зависимости от знака координат y, z ). По оси OY получают горизонтальную проекцию А 1 , по оси OZ - фронтальную А 2 . Профильную проекцию А 3 строят по А 1 и А 2 (либо по координатам). Например, построим проекции точки А (10, 20, 30), заданной конкретными координатами. Построения показаны на рис. 1.4.

Необходимо помнить, что положение горизонтальной проекции определяется координатами х и y , фронтальной проекции - координатами х и z , профильной проекции - координатами y и z . Ордината y всегда характеризует положение горизонтальной проекции, а аппликата – фронтальной.

Рис. 1.4. Взаимосвязь координат точки и ее проекций:

а) вид в аксонометрии; б) комплексный чертеж.

Исходя из тех же положений, решается обратная задача – определение координат точки по ее проекциям. Если на комплексном чертеже изображены проекции точки, тогда, измерив соответствующие расстояния, определяем ее координаты (см. рис. 1.4, б). Причем для определения всех трех координат достаточно двух проекций, т.к. любая пара проекций однозначно задается тремя координатами.

Удаленность точки от плоскостей проекций

Комплексный чертеж точки.

Теорема о проецировании прямого угла.

В случае если один из катетов прямого угла параллелœен плоскости проекций, а второй не занимает проецирующего положения (не перпендикулярен плоскости проекций), то данный прямой угол на эту плоскость проекций проецируется без искажения.

Вышеприведенные чертежи называются однокартинными . Рассмотренные методы проецирования позволяют однозначно решить прямую задачу – построить проекцию (чертеж) геометрического образа.

Обратная задача начертательной геометрии – по данному чертежу реконструировать геометрический образ – решается неоднозначно (должна быть несколько или бесчисленное множество решений). Из этого следует, что однокартинный чертеж не обладает свойством обратимости. Проекционный чертеж становится обратимым при добавлении дополнительной информации.

В нашем курсе мы будем применять обратимый чертеж, который принято называть комплексным чертежом в ортогональных проекциях (К.Ч.)

Комплексным чертежом принято называть чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого геометрического образа.

Принцип образования: геометрический образ ортогонально проецируется минимум на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещаются с одной плоскостью.

Точка - нольмерный геометрический образ;

Условные обозначения точек – A,В,С,D… 1,2,3… и т.д.;

П 1(XOY) – горизонтальная плоскость

проекции;

П 2(XOZ) – вертикальная (фронтальная) плоскость проекции;

А А на плоскость П1;

А А на плоскость П 2.

Рис.6 Чертеж на рис.6 является однокартинным.

Чертеж на рис. 7 принято называть комплексным чертежем точки А .

А 1 – горизонтальная проекция точки А ;

А 2 – фронтальная проекция точки А ;

А 1А 2- линия связи.

Оба чертежа (рис.6 и рис.7) являются графической иллюстрацией ортогонального проецирования одной и той же точки А на две взаимно перпендикулярные плоскости (П 1 и П 2).

В случае если на К.Ч. заданы две проекции точки, можно утверждать, что точка однозначно задана на К.Ч.

Комплексный чертеж точки. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Комплексный чертеж точки." 2017, 2018.

1. Наибольшее применение в технической практике получил чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого оригинала. Такой чертеж называется комплексным.

Принцип образования такого чертежа состоит в том, что данный оригинал проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с плоскостью чертежа. Одна из плоскостей проекций 1 располагается вертикально перед наблюдателем и поэтому называется фронтальной плоскостью проекций (рис. 5а), а другая плоскость 2 располагается горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций . Прямую пересечения плоскостей проекций называют осью проекций.

Спроецируем ортогонально на плоскости проекций 1 и 2 какую-нибудь точку А , тогда получим две ее проекции: фронтальную проек- цию А 1 на плоскости 1 и горизонтальную проекцию А 2 на плоскости 2 .

Проецирующие прямые АА 1 и АА 2 , при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость А 1 АА 2 , перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций х . Прямые А 1 А x и А x А 2 , являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций 1 и 2 , будут перпендикулярны к оси проекций х .

Обратно, каждая пара точек А 1 и А 2 , соответственно принадлежащих плоскостям 1 и 2 и расположенных на перпендикулярах к оси х , восстановленных из одной и той же точки А х , определяет в пространстве единственную точку А . В самом деле, если провести через точки А 1 и А 2 перпендикуляры А 1 А и А 2 А соответственно к плоскостям 1 и 2 , то они, находясь в одной плоскости А 1 А x А 2 , пересекутся в некоторой точке А .

Расстояние А 2 А точки А от горизонтальной плоскости проекций называется высотой h точки А , а ее расстояние А 1 А от фронтальной плоскости проекций – глубиной f точки А .

2. Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций 2 c плоскостью 1 , вращая плоскость 2 вокруг оси х в направлении, указанном на рис. 5а стрелкой. В результате получим комплексный чертеж точки А (рис. 5б), состоящий из двух проекций А 1 и А 2 точки А , лежащих на одной прямой, перпендикулярной к оси х . Прямая А 1 А 2 , соединяющая две проекции точки, называется линией связи .

Полученный комплексный чертеж будет обратимым , т. е. по этому чертежу можно определить или, как говорят, реконструировать оригинал. В самом деле, рассматривая, например, фронтальную проекцию А 1 точки А и имея на чертеже ее глубину f =IА x А 2 I, можно реконструировать точку А . Для этого надо восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А 1 и от плоскости чертежа отложить глубину искомой точки, тогда конец перпендикуляра определит положение точки А .

3. Рассмотренный принцип образования комплексного чертежа получил со времен Монжа широкое распространение в учебной литературе. Однако в технической практике нет необходимости в определении положения изображаемого оригинала относительно неподвижной системы плоскостей проекций, поэтому при образовании комплексного чертежа можно отказаться от фиксации плоскостей проекций. Основанием этому может служить установленное в § 1 (2) свойство 6, что проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций.

Образование комплексного чертежа точки А при нефиксированных плоскостях проекций показано на рис. 6. В этом случае плоскости проекций 1 и 2 совмещают с плоскостью чертежа так, чтобы проекции проецирующей плоскости на плоскостях 1 и 2 лежали бы на одной прямой (рис. 6б)  . Это возможно сделать и при образовании комплексного чертежа любого множества точек, так как проекции всех проецирующих плоскостей этих точек на обеих плоскостях проекций будут параллельны, а расстояния между проекциями каждых двух из этих плоскостей на плоскостях 1 и 2 равны между собой. Для удобства чтения чертежа плоскость 2 считают расположенной ниже всех точек оригинала, а плоскость 1 – сзади всех точек оригинала.

Изображение на плоскости проекции 1 в технической практике называют видом спереди , или, короче, видом 1 , отображение же на плоскости проекций 2 называют видом сверху , или видом 2 . Реконструи- рование оригинала по его комплексному чертежу, образованному при нефиксированных плоскостях проекций, производят по его виду спереди 1 и измеренным на чертеже глубинам точек оригинала по отношению к фиксированной в произвольном положении плоскости проекции 1 (рис. 6а); на виде сверху эту плоскость обозначим знаком треугольника.

Фиксированные плоскости проекций, по отношению к которым производят какие-либо измерения, в дальнейшем будем называть базовыми плоскостями.

Таким образом, для реконструкции точки А по ее комплексному чертежу (рис. 6б) нужно восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А на виде спереди и отложить на нем от плоскости чертежа глубину f точки А , измеренную на виде сверху от базовой плоскости, отмеченной на этом виде знаком треугольника (вид сверху этой базовой плоскости будем называть базой отсчета глубин).

Конец этого перпендикуляра определит положение точки А по отношению к плоскости чертежа. Так как положение базовой плоскости выбирается произвольно, то при реконструкции оригинала по комплексному чертежу, образованному при нефиксированных плоскостях проекций, его положение определяется с точностью до параллельного переноса.